Pagina principală Geometrie plană 2. Semidreapta, segmentul
 

2. Semidreapta, segmentul

Scris de Cristina Vuşcan   
Luni, 12 Noiembrie 2012 13:39
PDF Imprimare Email

Semidreapta

Spre deosebire de o dreaptă, pe care o considerăm prelungită la nesfârşit în ambele părţi, semidreapta o considerăm prelungită la nesfârşit într-o singură parte şi limitată în cealaltă parte de un punct numit originea semidreptei.
Fiind dată o dreaptă d şi un punct A in d, există două semidrepte şi nu mai multe cu originea în A şi care să fie incluse în dreapta d. Orice punct al dreptei d diferit de punctul A aparţine numai uneia din cele două semidrepte.
Fiind date două puncte distincte A şi B, să considerăm dreapta AB şi semidreapta inclusă în această dreaptă, cu originea în A şi căreia îi aparţine punctul B.
Această semidreaptă se notează cu delim{[}{AB}{~} dacă punctul A, originea semidreptei, aparţine semidreptei şi cu (AB dacă punctul A nu aparţine semidreptei:
delim{[}{AB}{~}: A in delim{[}{AB}{~} (semidreapta închisă delim{[}{AB}{~} )
(AB: A notin (AB (semidreapta deschisă (AB ).
Întrucât toate punctele semidreptei delim{[}{AB}{~} ((AB ) sunt şi puncte ale dreptei AB, convenim să spunem că semidreapta delim{[}{AB}{~} ((AB ) este inclusă în dreapta AB şi să scriem
delim{[}{AB}{~} subset AB ((AB subset AB ).

Fie A, B, C trei puncte aparţinând dreptei d în această ordine. Semidreptele delim{[}{AB}{~} şi delim{[}{AC}{~} au aceleaşi puncte. S-a convenit ca astfel de semidrepte să se numească identice, să se noteze aceasta
delim{[}{AB}{~} = delim{[}{AC}{~}
şi să se citească ”semidreapta delim{[}{AB}{~} este identică cu semidreapta delim{[}{AC}{~} ”. De fapt, este vorba de una şi aceeaşi semidreaptă, motiv pentru care se întrebuinţează doar una dintre notaţii, de exemplu delim{[}{AB}{~} .
Despre punctele B şi C se spune în acest caz că sunt ”de aceeaşi parte a punctului A”.
În cazul în care semidreptele nu au aceleaşi puncte, s-a convenit ca ele să se numească semidrepte distincte (diferite).
În cazul punctelor A, B, C de mai sus semidreptele delim{[}{BA}{~} şi delim{[}{BC}{~} (sau (BA şi (BC ) au aceeaşi origine, punctul B, sunt incluse în aceeaşi dreaptă, dar nu au aceleaşi puncte. Ele sunt semidrepte distincte şi notăm aceasta astfel:
delim{[}{BA}{~} != delim{[}{BC}{~} (sau (BA != (BC ).
În acest caz, spunem că semidreptele distincte delim{[}{BA}{~} şi delim{[}{BC}{~} (sau (BA şi (BC ) sunt ”una în prelungirea celeilalte” sau că ”o semidreaptă o prelungeşte pe cealaltă” sau că sunt ”semidrepte opuse”.
Despre punctele A şi C se spune că sunt ”de o parte şi de alta a punctului B”.


Segmentul

Considerăm două puncte distincte A şi B ( A != B ) şi dreapta AB căreia evident ele îi aparţin. Porţiunea din dreapta AB situată între punctele A şi B se numeşte segment. Un punct care se află pe dreapta AB între punctele A şi B se mai numeşte punct interior segmentului.
Segmentul pe care ni-l închipuim format numai din mulţimea punctelor sale interioare se numeşte segment deschis şi se notează (AB) . Punctele A şi B se numesc capetele segmentului sau extremităţile lui.
Segmentul conceput din mulţimea formată din capetele A şi B ale segmentului şi din toate punctele sale interioare se numeşte segment închis şi se notează delim{[}{AB}{]} .
delim{[}{AB}{]} = (AB) union lbrace A;B rbrace
În plus
delim{[}{AB}{]} subset AB, ~ delim{[}{AB}{]} subset delim{[}{AB}{~}, ~ delim{[}{AB}{]} subset delim{[}{BA}{~}
Două segmente  delim{[}{AB}{]} şi  delim{[}{CD}{]} (sau  (AB) şi  (CD) ) pot fi gândite ca fiind identice dacă conţin aceleaşi puncte interioare; scriem aceasta
 delim{[}{AB}{]} = delim{[}{CD}{]} (sau  (AB) = (CD) ).
De fapt, este vorba de unul şi acelaşi segment, motiv pentru care folosim o singură notaţie, de exemplu,  delim{[}{AB}{]} (respectiv  (AB) ).
Dacă segmentele  delim{[}{AB}{]} şi  delim{[}{CD}{]} nu conţin aceleaşi puncte interioare, convenim să le numim segmente diferite şi scriem aceasta astfel:
 delim{[}{AB}{]} != delim{[}{CD}{]} .


Ultima actualizare ( Joi, 13 Decembrie 2012 12:24 )